Le couplage fort courant : liberté asymptotique

Le dernier élément clé de QCD, est la variabilité de la constante de couplage et le concept de liberté asymptotique. Cette hypothèse a été introduite pour résoudre le dilemme suivant : dans les mesures de diffusion inélastique, les quarks apparaissent comme des particules libres alors que les quarks ne sont jamais observés comme particules libres puisqu'ils sont liés (confinés) par l'interaction forte dans les hadrons. L'hypothèse consiste à faire varier la constante de couplage des quarks et des gluons : à grande distance, ou de façon équivalent à petit moment transféré, le couplage est fort et confine les quarks dans les hadrons. A petite distante, ou à des moments transférés asymptotique, cette même constante de couplage devient plus faible de sorte que les quarks se comportent comme des particules quasi libres. Cependant l'approche de l'asymptote est lente de sorte qu'à n'importe quelle énergie, il est possible de calculer des facteurs correctifs au calcul qui considère les quarks comme des particules libres pour rendre compte des phénomènes physiques.

Nous avons déjà vu que lorsque dans le cadre de la théorie des champs on calcule une observable physique R comme une série perturbative des puissances de la constante de couplage ( $R=R_{1}\alpha +R_{2}\alpha ^{2}+\cdots$ ) on introduit des termes qui font diverger la série. Ces divergences sont éliminés en renormalisant la série. Cette renormalisation introduit une échelle en énergie $\mu$ , le point à partir duquel la soustraction qui enlève les divergences est effectuée. On peut encore voir $\mu$ comme l'énergie définissant l'échelle de temps $\Delta t\ll 1/\mu$ pour laquelle la physique est ignorée dans le calcul perturbatif. Si l'observable R dépend de l'échelle en énergie Q, le résultat de cette renormalisation est que R n'est pas constant et dépend en fait de $Q^{2}/\mu ^{2}$ . Cependant $\mu$ est un paramètre arbitraire et n'est pas un élément de la théorie. Une observable physique ne peut pas dépendre du choix arbitraire de $\mu$ . La dépendance de R peut être prise en compte en définissant une constante de couplage courante (running coupling constant en anglais) qui elle dépend de l'échelle. Cette variation est déterminée par la théorie au travers d'une équation appelée l'équation du groupe de renormalisation :

$\begin{displaymath} Q^{2}\frac{\partial \alpha _{s}}{\partial Q^{2}}=\beta \left( \alpha _{s}\right) \end{displaymath}$

(4.8)

$\begin{displaymath} \beta \left( \alpha _{s}\right) =-b\alpha ^{2}_{s}\left( 1+b... ... \alpha ^{2}_{s}+\cal {O}\left( \alpha ^{3}_{s}\right) \right) \end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*} b & = & \frac{33-2n_{s}}{12\pi }\\ b\prime & = & \frac{153-19... ...39-15099n_{s}+325n^{2}_{s}}{288\pi ^{2}\left( 33-2n_{s}\right) } \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath} \alpha _{s}\left( Q^{2}\right) =\frac{\alpha _{s}\left( \mu ... ...ac{\left( 33-2n_{s}\right) }{12\pi }\ln \frac{Q^{2}}{\mu ^{2}}}\end{displaymath}$

(4.9)

L'explication de la liberté asymptotique n'est pas intuitive. En fait la constante de couplage électromagnétique dépend elle aussi, bien que beaucoup plus faiblement, du moment transféré dans l'interaction. Cette variabilité a été expliqué par le phénomène d'écrantage de la charge électrique. En effet une charge isolée émet et réabsorbe continuellement des photons qui peuvent temporairement se matérialiser en paire électron-positron qui polarise le vide, considéré comme un milieu di-électrique. Les charges ainsi créées écrantent la charge isolée et une mesure physique impliquant un faible moment transféré, ou de façon équivalente une grande distance, verra une charge inférieure à la charge nue. Plus le moment transféré sera grand, où la distance d'approche faible, plus on se rapprochera de la charge nue. Le vide de QCD est lui aussi polarisable, mais à la différence du champ électromagnétique, la self-énergie du gluon contient également des boucles de gluons, puisque le gluon est également porteur de la charge de couleur. Ceci a pour effet d'anti-écranter la charge de couleur et de compenser partiellement l'écrantage résultant des boucles de quarks. Cette explication n'est cependant pas unique. Une autre a été avancée interprétant la liberté asymptotique comme le résultat d'effets paramagnétiques dus au spin des gluons.

A partir de la théorie perturbative de QCD, il est uniquement possible de déterminer la façon dont varie le couplage fort et non sa valeur absolue. Cette dernière doit être déterminée expérimentalement. On choisira généralement comme référence la valeur du couplage mesurée à une énergie suffisamment grande (pour garantir la validité de l'approche perturbative), par exemple à la masse du Z ( $M_{Z}=91,1882(22)\: \mathrm{GeV}/\mathrm{c}^{2}$ ). L'équation d'évolution du couplage permettra ensuite de déterminer la valeur du couplage à n'importe quelle grande échelle d'énergie $Q^{2}$ . La solution de l'équation d'évolution (Équation 4.8) à l'ordre suivant l'ordre dominant (NLO) est la suivante :

$\begin{displaymath} \frac{1}{\alpha _{s}\left( Q^{2}\right) }-\frac{1}{\alpha _{... ...ht) }{1+b\prime \alpha _{s}\left( M_{Z}^{2}\right) }\right) =bt\end{displaymath}$

(4.10)

Une autre approche, qui fut en fait l'approche historique, consiste à introduire un paramètre directement dans la définition du couplage. Ce paramètre, noté $\Lambda$ , représente l'échelle à partir de laquelle l'évolution de la valeur du couplage divergerait si elle était extrapolée en-dehors du domaine perturbatif. De façon plus qualitative, $\Lambda$ représente l'ordre de grandeur de l'échelle à laquelle le couplage devient fort. Sa valeur, déterminée expérimentalement, est de l'ordre de 200 MeV. Ainsi, pour des échelles de quelque fois $\Lambda$ , soit environ la masse du nucléon (1 GeV), la valeur du couplage est assez importante pour que la théorie perturbative ne soit plus applicable. Le corollaire de cette augmentation, c'est-à-dire la diminution du couplage de l'interaction forte à des grandes valeurs de l'échelle d'énergie, pourrait expliquer le confinement des quarks et des gluons dans les hadrons et la notion de liberté asymptotique. A l'ordre dominant et en introduisant le paramètre $\Lambda$ , la valeur du couplage à l'échelle $Q^{2}$ est :

$\begin{displaymath} \alpha _{s}\left( Q^{2}\right) =\frac{1}{\left( \frac{33-2n_{s}}{12\pi }\right) \ln \frac{Q^{2}}{\Lambda ^{2}}} \end{displaymath}$

(4.11)

$\begin{displaymath} \alpha _{s}\left( Q^{2}\right) =\frac{1}{\left( \frac{33-2n_... ...right) }{\ln \left( Q^{2}/\Lambda ^{2}\right) }+\cdots \right) \end{displaymath}$

À partir de l'ensemble des valeurs déterminées expérimentalement (Figure 4.11) du couplage de l'interaction forte à l´énergie de la masse du Z, la valeur $\alpha _{s}\left( M_{Z}\right) =0,1185(20)$ a été adoptée.

**Figure 4.11:** Résumé des valeurs $\alpha _{s}\left( M_{Z}\right) \protect$ mesurées à partir de différents processus [9] (voir *Particle Data Group*).
$\begin{figure} \htmladdimg{images/alphas.gif} \par {\par\centering\includegraphics{images/alphas.eps} \par } \par\end{figure}$

**Figure 4.12:** Valeurs de $\alpha _{s}$ déterminés expérimentalement et comparées aux prédictions théoriques de QCD calculées à l'ordre $\cal {O}\left ( \alpha ^{3}_{s}\right )$ et avec $\alpha _{s}=0,119(4)$ .
htmlimagethumbnail=1.5 $\resizebox* {0.8\textwidth}{!}{\includegraphics{images/alphasfromopal.eps}}$

Reste à régler le problème de savoir formuler la théorie QCD dans un cadre non-perturbatif lorsque le couplage de l'interaction forte devient fort pour des grandes distances entre quarks (supérieures au fm) ou pour des petites échelles d'énergie (inférieure au GeV). Une solution est fournie par la méthode de calcul QCD sur réseau. Cette approche de QCD consiste à discrétiser l'espace-temps ; elle est exclusivement numérique. Les résultats obtenus sont indépendants de tout modèle dans le cadre de QCD non-perturbatif. Je ne développerai pas davantage cette méthode dont j'utiliserai plus loin les résultats.

Voyons maintenant comment la théorie QCD peut être testée expérimentalement à l'aide des collisionneurs de leptons, de protons ou d'ions lourds actuellement opérationnels dans le monde au travers d'un nombre limité (par la durée du cours) d'exemples.