Fermions et bosons

Un des concepts des plus fondamentaux à la base de la description des interactions entre particules et champs est la relation qui lie le spin d'une particule et la statistique à laquelle obéit cette particule. Par un théorème, énoncé par Pauli en 1940, il est démontré que cette relation est une conséquence de la théorie relativiste et quantique des champs [3]. Les particules sont ainsi classées en deux catégories :

1. les fermions, particules de spin demi-entier qui obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et
2. les bosons, particules de spin entier qui obéissent à la statistique de Bose-Einstein.

La statistique à laquelle obéit une particule détermine la symétrie de la fonction d'onde d'une paire de particules, soit où représente, par exemple, la probabilité de trouver la particule 1 en un point donné de l'espace des coordonnées et la particule 2 en un autre point donné. Puisque les deux particules sont identiques, cette probabilité ne change pas lorsque l'on permute les deux particules :

$$\left\vert \psi \left( 1,2\right) \right\vert ^{2}=\left\vert \psi \left( 2,1\right) \right\vert ^{2}$$

Cette équation à deux solutions, soit :

$$\begin{eqnarray*} \psi \left( 1,2\right) & = & \psi \left( 2,1\right) \; \; \; \... ...e}\; \mathrm{anti}-\mathrm{sym}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{trique} \end{eqnarray*}$$

En 1925, Dirac montra que le Principe de Pauli (il ne peut y avoir qu'un électron par nombre quantique) est obtenu en mécanique quantique en décrivant un système de N fermions par une fonction d'onde complètement anti-symétrique pour les permutations des fermions , c'est-à-dire par permutations paires, et changeant de signes par permutations impaires:

$$\psi _{fermions}\left( 1,\ldots k,\ldots ,l,\ldots m,\ldots ... ...}\left( 1,\ldots l,\ldots ,k,\ldots n,\ldots m,\ldots N\right)$$

$$\psi _{fermions}\left( 1,\ldots k,\ldots ,l,\ldots m,\ldots ... ...}\left( 1,\ldots l,\ldots ,k,\ldots m,\ldots n,\ldots N\right)$$

En revanche, les systèmes de N bosons identiques, qui eux ne sont pas soumis au principe d'exclusion de Pauli, sont décrits par des fonctions d'onde complètement symétriques :

$$\psi _{bosons}\left( 1,\ldots k,\ldots ,l,\ldots m,\ldots n,... ...}\left( 1,\ldots l,\ldots ,k,\ldots n,\ldots m,\ldots N\right)$$

$$\psi _{bosons}\left( 1,\ldots k,\ldots ,l,\ldots n,\ldots m,... ...}\left( 1,\ldots l,\ldots ,k,\ldots m,\ldots n,\ldots N\right)$$

La fonction d'onde d'un système de particules identiques peut être décrit comme le produit de plusieurs facteurs associés aux :

• variables dynamiques décrivant le mouvement relatif des particules
• variables de spin
• variables de saveur (isospin, étrangeté, charme), et
• variables de couleur.
  

  $$\left\vert \psi \right\rangle =\left\vert orbital\right\rang... ...rt saveur\right\rangle \otimes \left\vert couleur\right\rangle$$ (2.1)

  
  

Une permutation de deux particules dans l'espace des coordonnées introduit un facteur (-1) où est le nombre quantique moment orbital. Donc ,pour des valeurs paires (impaires) de l, la composante de la fonction d'onde est symétrique (anti-symétrique). La composante de la fonction d'onde décrivant un système de deux particules dont les spins sont parallèles (anti-parallèles) sera symétrique (anti-symétrique) :

$$\begin{array}{ccccc} \left\vert spin\right\rangle & = & \lef... ...eft\vert \downarrow _{2}\uparrow _{1}\right\rangle \end{array}$$

Cette nécessité de symétrie ou anti-symétrie de la fonction d'onde d'un système de particules est illustrée dans l'exemple suivant. Considérons la décroissance du méson vecteur en deux pions neutres :

$$\rho ^{0}\longrightarrow \pi ^{0}+\pi ^{0}$$

Le spin du méson est J=1 et celui du pion est J=0. Dans la voie finale, nous avons donc un système de deux bosons identiques et sa fonction d'onde doit être symétrique. La composante est forcément symétrique (particules avec J=0), donc la composante doit être également symétrique (les autres composantes n'interviennent pas pour un système de hadrons), c'est-à-dire le moment angulaire orbital relatif des deux pions doit être pair. Ceci n'est pas possible puisque le moment angulaire total (J+l) doit être conservé dans la décroissance et donc l=1. Cette décroissance est donc interdite par la conservation du moment angulaire total et par symétrie de Bose-Einstein. La décroissance :

$$\rho ^{0}\longrightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}$$

est, au contraire, permise puisque le système dans la voie de sortie ne consiste plus en deux bosons identiques.